GIÁ TRỊ THỜI GIAN CỦA TIỀN VÀ SƠ ĐỒ DÒNG TIỀN
Vì sao một đồng hôm nay đáng giá hơn một đồng năm sau và cách quy đổi tiền giữa các thời điểm
Bài nên đọc trước
Một kỹ sư trẻ gửi 100 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8% mỗi năm và tự hỏi sau 20 năm mình sẽ có bao nhiêu. Phép nhẩm quen thuộc là mỗi năm được 8 triệu đồng tiền lãi, 20 năm được 160 triệu đồng, cộng gốc thành 260 triệu đồng. Nhưng nếu tiền lãi mỗi năm được nhập vào gốc để năm sau tiếp tục sinh lãi, khoản tiết kiệm thực ra lên tới khoảng 466,1 triệu đồng. Hơn 200 triệu đồng chênh lệch đến từ một cơ chế duy nhất: lãi sinh ra lãi.
Câu chuyện ấy chứa đựng ý tưởng nền tảng nhất của môn Kinh tế kỹ thuật: giá trị thời gian của tiền (time value of money). Một đồng nhận hôm nay không bằng một đồng nhận năm sau, vì đồng tiền hôm nay có thể được đem đi sinh lời trong một năm đó. Hệ quả rất thực tế: không được cộng hay so sánh trực tiếp những khoản tiền phát sinh ở các thời điểm khác nhau. Một chiếc máy giá 320 triệu đồng trả ngay và khoản tiết kiệm 35 triệu đồng mỗi năm trong tám năm chỉ đặt lên cùng bàn cân được khi đã quy về cùng một mốc thời gian.
Bài viết gồm tám phần. Mục 1 giải thích vì sao tiền có giá trị thời gian và lãi suất là gì. Mục 2 phân biệt lãi đơn với lãi kép. Mục 3 trình bày sơ đồ dòng tiền và các quy ước vẽ. Mục 4 giới thiệu khái niệm tương đương. Mục 5 xây dựng sáu hệ số quy đổi giữa P, F và A qua các ví dụ gửi tiết kiệm, quỹ dự phòng thay thiết bị, mua máy trả dần. Mục 6 giải bài toán chọn giữa hai máy nén khí. Mục 7 hướng dẫn dùng các hàm FV, PV, PMT, NPER, RATE trên Excel và Google Sheets. Mục 8 tổng hợp những lỗi thường gặp.
1. Vì sao một đồng hôm nay khác một đồng năm sau
Trước khi tính toán, cần hiểu vì sao tiền lại có "giá" theo thời gian. Mục này nêu ba lý do khiến tiền có giá trị thời gian, rồi giải thích lãi suất như cái giá của việc sử dụng tiền.
1.1. Ba lý do tiền có giá trị thời gian
Lý do quan trọng nhất là chi phí cơ hội của vốn. Như bài Chi phí cơ hội và cái giá của mỗi lựa chọn đã phân tích, mỗi đồng vốn giam vào một việc là một đồng không thể dùng vào việc khác. Nếu có thể gửi tiết kiệm với lãi 8% mỗi năm, một lời hứa trả 100 triệu đồng sau một năm thực chất làm bạn mất 8 triệu đồng tiền lãi lẽ ra nhận được. Bảng 1 tóm tắt ba lý do.
Bảng 1. Ba lý do khiến một đồng hôm nay có giá trị hơn một đồng tương lai
| Lý do | Cơ chế | Ví dụ |
|---|---|---|
| Chi phí cơ hội của vốn | Tiền hôm nay có thể được đầu tư để sinh lời | 100 triệu đồng gửi tiết kiệm 8% thành 108 triệu đồng sau một năm |
| Lạm phát | Sức mua của đồng tiền giảm dần theo thời gian | Cùng 100 triệu đồng mua được ít hàng hóa hơn sau vài năm |
| Rủi ro và sở thích thời gian | Khoản tương lai có thể không được trả; con người thích nhận sớm hơn nhận muộn | Khách hàng hứa trả sau sáu tháng có thể chậm trả hoặc không trả |
Ba lý do trong Bảng 1 tác động cùng chiều, nên lãi suất thị trường hầu như luôn dương. Lý do thứ ba có cả mặt tâm lý: con người thường chiết khấu các khoản tương lai, đôi khi mạnh hơn mức lãi suất thị trường biện minh được (Frederick và cộng sự, 2002). Phân tích kinh tế kỹ thuật vì thế dùng một suất chiết khấu thống nhất, phản ánh chi phí cơ hội của vốn với mức rủi ro tương đương; lạm phát sẽ được tách ra ở một bài riêng.
1.2. Lãi suất là giá của tiền theo thời gian
Lãi (interest) là khoản tiền trả cho việc sử dụng tiền của người khác, tương tự tiền thuê đối với một mặt bằng. Lãi suất (interest rate) là tỷ lệ giữa tiền lãi của một kỳ và số vốn đầu kỳ: một xưởng vay 200 triệu đồng và sau một năm trả 216 triệu đồng thì lãi suất là 16/200 = 8% mỗi năm. Cùng một giao dịch, tiền lãi là chi phí với người vay và là thu nhập với người cho vay (Park, 2019).
Bài viết dùng bộ ký hiệu chuẩn: P là giá trị hiện tại (present), F là giá trị tương lai (future), A là khoản đều mỗi kỳ (annual), i là lãi suất mỗi kỳ và n là số kỳ. Lãi suất luôn phải gắn với một kỳ xác định, vì 1% mỗi tháng khác xa 1% mỗi năm. Ngân hàng ở Việt Nam niêm yết lãi suất theo phần trăm mỗi năm, nên một quảng cáo "lãi chỉ 1%/tháng" cần được quy về cùng kỳ trước khi so sánh. Cách quy đổi khi lãi được ghép nhiều lần trong năm là chủ đề của bài Lãi suất danh nghĩa, hiệu dụng và bẫy lãi phẳng.
2. Lãi đơn và lãi kép
Hai cách tính lãi khác nhau về bản chất giải thích con số 260 triệu so với 466,1 triệu đồng ở đầu bài. Mục này trình bày từng cách tính, rồi so sánh chúng qua thời gian.
2.1. Lãi đơn
Lãi đơn (simple interest) chỉ tính trên vốn gốc, không tính trên phần lãi đã sinh. Sau n kỳ, giá trị tích lũy là F = P × (1 + i × n) và tăng theo đường thẳng. Gửi 100 triệu đồng ở lãi đơn 8% mỗi năm trong 5 năm cho F = 100 × (1 + 0,08 × 5) = 140 triệu đồng. Trong thực tế, lãi đơn thường chỉ xuất hiện bên trong một kỳ, chẳng hạn sổ tiết kiệm kỳ hạn 6 tháng; khi đáo hạn được tái tục cả gốc lẫn lãi, lãi kỳ trước bắt đầu sinh lãi. Một dạng lãi đơn cần cảnh giác là lãi suất phẳng trong vay trả góp, tính trên dư nợ gốc ban đầu dù nợ đã giảm dần, nên chi phí thật cao hơn nhiều so với con số quảng cáo.
2.2. Lãi kép
Lãi kép (compound interest) tính lãi trên cả vốn gốc lẫn phần lãi đã tích lũy. Cuối kỳ 1, giá trị là P × (1 + i); cuối kỳ 2, toàn bộ khoản đó lại sinh lãi, thành P × (1 + i)^2. Sau n kỳ, ta có công thức trung tâm của cả môn học (Blank & Tarquin, 2024):
F = P × (1 + i)^n
Với 100 triệu đồng, lãi 8% mỗi năm, 5 năm, lãi kép cho 146,93 triệu đồng, nhiều hơn lãi đơn 6,93 triệu đồng. Bảng 2 cho thấy khoảng cách này nới rộng thế nào qua 20 năm.
Bảng 2. Giá trị tích lũy của 100 triệu đồng ở lãi suất 8% mỗi năm (triệu đồng)
| Năm | Lãi đơn | Lãi kép | Chênh lệch |
|---|---|---|---|
| 1 | 108,00 | 108,00 | 0,00 |
| 2 | 116,00 | 116,64 | 0,64 |
| 5 | 140,00 | 146,93 | 6,93 |
| 10 | 180,00 | 215,89 | 35,89 |
| 15 | 220,00 | 317,22 | 97,22 |
| 20 | 260,00 | 466,10 | 206,10 |
Bảng 2 cho thấy năm đầu hai cách tính trùng nhau, năm thứ hai chỉ lệch 0,64 triệu đồng, nhưng tới năm thứ hai mươi đã lệch hơn 200 triệu đồng. Hình 1 biểu diễn cùng dữ liệu: lãi đơn là đường thẳng, lãi kép là đường cong dốc dần.
Hình 1. Lãi đơn tăng tuyến tính, lãi kép tăng theo hàm mũ (100 triệu đồng, 8% mỗi năm).
Như Hình 1 cho thấy, lãi kép gần như không tạo khác biệt trong vài năm đầu, nên người ta dễ đánh giá thấp nó. Quy tắc 72 giúp cảm nhận sức mạnh này: số năm để tiền tăng gấp đôi xấp xỉ 72 chia cho lãi suất tính theo phần trăm. Ở lãi 8%, tiền gấp đôi sau khoảng 9 năm (chính xác là 9,01 năm); ở lãi 12%, chỉ khoảng 6 năm (chính xác là 6,12 năm). Kinh tế kỹ thuật mặc định dùng lãi kép, vì nó phản ánh đúng cách vốn sinh lời khi tái đầu tư và vì chỉ với lãi kép, quy một khoản tiền qua nhiều bước mới cho cùng kết quả như quy thẳng một bước.
3. Sơ đồ dòng tiền và quy ước vẽ
Trước khi tính, nên vẽ bài toán ra. Mục này trình bày ba quy ước của sơ đồ dòng tiền, rồi bàn về góc nhìn, yếu tố quyết định dấu của mọi khoản tiền.
3.1. Ba quy ước cơ bản
Sơ đồ dòng tiền (cash flow diagram) là một trục thời gian biểu diễn mọi khoản thu và chi của một phương án theo đúng thời điểm phát sinh. Quy ước thứ nhất: trục ngang chia thành các kỳ đánh số từ 0 đến n; mốc 0 là "hôm nay", mốc 1 vừa là cuối kỳ 1 vừa là đầu kỳ 2. Quy ước thứ hai, gọi là quy ước cuối kỳ (end-of-period convention): mọi dòng tiền trong một kỳ được gộp và đặt ở cuối kỳ đó, nên tiền điện trả hằng tháng trong năm đầu được vẽ thành một mũi tên ở mốc 1 (Newnan và cộng sự, 2020). Quy ước thứ ba: mũi tên hướng lên là dòng thu, mũi tên hướng xuống là dòng chi, độ dài gợi ý độ lớn tương đối.
3.2. Giữ nguyên một góc nhìn
Sơ đồ luôn được vẽ từ một góc nhìn và phải giữ nguyên góc nhìn ấy suốt bài toán. Hình 2 vẽ cùng một giao dịch gửi tiết kiệm 100 triệu đồng trong 5 năm, lãi kép 8% mỗi năm, từ hai phía.
Hình 2. Một giao dịch gửi tiết kiệm vẽ từ hai góc nhìn: mọi mũi tên đổi chiều, còn phép tính giữ nguyên.
Hình 2 cho thấy với người gửi, khoản gửi là dòng chi và khoản rút là dòng thu; với ngân hàng thì ngược lại, còn con số 146,93 triệu đồng không đổi. Lỗi thường gặp là trộn hai góc nhìn giữa chừng, chẳng hạn trong bài toán mua máy trả góp lại vẽ khoản vay được giải ngân như một dòng chi của doanh nghiệp. Lỗi khác là đặt sai thời điểm: một khoản chi đầu năm thứ 2 phải nằm ở mốc 1, không phải mốc 2.
4. Khái niệm tương đương
Lãi kép và sơ đồ dòng tiền là công cụ; khái niệm tương đương mới là ý tưởng làm nền cho việc so sánh phương án. Mục này định nghĩa tương đương, rồi chỉ ra vì sao nó luôn gắn với một lãi suất cụ thể.
4.1. Hai dòng tiền "đáng giá như nhau"
Hai dòng tiền tương đương (equivalent) ở một lãi suất cho trước nếu chúng có cùng giá trị khi quy về một mốc thời gian chung. Nhờ lãi kép, tương đương tại một mốc thì tương đương tại mọi mốc, nên chọn mốc nào chỉ là vấn đề tiện lợi (Sullivan và cộng sự, 2019). Ở lãi 10% mỗi năm, 100 triệu đồng hôm nay, 110 triệu đồng sau 1 năm và 133,1 triệu đồng sau 3 năm là tương đương: người giữ một khoản có thể biến nó thành khoản kia bằng cách gửi hoặc vay ở lãi 10%. Hệ quả thực tiễn: giá trị hiện tại của mọi khoản trả nợ, tính ở lãi suất của khoản vay, phải bằng số tiền vay; nếu không, có phí ẩn hoặc lãi suất công bố chưa đúng.
4.2. Tương đương phụ thuộc lãi suất
Quan hệ tương đương chỉ đúng ở một lãi suất cụ thể. Khoản 133,1 triệu đồng sau 3 năm tương đương 100 triệu đồng hôm nay ở lãi 10%, nhưng ở lãi 8% nó tương đương 105,66 triệu đồng và ở lãi 12% chỉ còn 94,74 triệu đồng. Xét một chủ cửa hàng được đối tác đề nghị chọn giữa nhận 100 triệu đồng hôm nay hoặc 150 triệu đồng sau 5 năm. Hình 3 vẽ giá trị hiện tại của khoản 150 triệu đồng theo suất chiết khấu.
Hình 3. Giá trị hiện tại của 150 triệu đồng nhận sau 5 năm theo suất chiết khấu (số liệu minh họa).
Hình 3 cho thấy ở suất chiết khấu 8%, 150 triệu đồng sau 5 năm tương đương 150/1,08^5 = 102,09 triệu đồng hôm nay, nên chờ có lợi hơn một chút. Ở 10%, con số chỉ còn 93,14 triệu đồng và kết luận đảo chiều; điểm hòa nằm ở khoảng 8,45%. Câu hỏi "khoản nào đáng giá hơn" vì thế vô nghĩa nếu không nói rõ lãi suất và lãi suất đúng là chi phí cơ hội của vốn của người ra quyết định. Nếu chủ cửa hàng có thể quay vòng 100 triệu đồng vào hàng hóa với lợi suất 15% mỗi năm, nhận ngay tốt hơn rõ rệt.
Các phương pháp đánh giá phương án như giá trị hiện tại, giá trị đều hằng năm, suất thu lợi nội tại đều là những cách áp dụng cùng nguyên lý tương đương, khác nhau ở mốc được chọn để quy về. Cách dùng hai phương pháp đầu để chọn phương án được trình bày trong bài Giá trị hiện tại NPV và giá trị đều hằng năm AW.
5. Sáu hệ số quy đổi giữa P, F và A
Để quy đổi tiền giữa các thời điểm mà không phải tính từng khoản, môn học dùng sáu hệ số chuẩn nối ba đại lượng P, F và A. Mục này xây dựng từng cặp hệ số kèm một ví dụ kinh doanh, tổng hợp chúng thành bảng, rồi nhắc ngắn về dòng tiền tăng dần.
5.1. Hai hệ số khoản đơn F/P và P/F
Hệ số giá trị tương lai (F/P, i, n) = (1 + i)^n, đọc là "tìm F khi biết P, ở lãi suất i sau n kỳ". Hệ số giá trị hiện tại (P/F, i, n) = 1/(1 + i)^n là nghịch đảo của nó; phép nhân một khoản tương lai với (P/F) gọi là chiết khấu (discounting) và lãi suất dùng ở đây gọi là suất chiết khấu. Ví dụ gửi tiết kiệm ở Hình 2 dùng (F/P, 8%, 5) = 1,4693; ví dụ ở Hình 3 dùng (P/F, 8%, 5) = 0,6806. Một phép tự kiểm tra hữu ích: khi lãi suất dương, (F/P) luôn lớn hơn 1 và (P/F) luôn nhỏ hơn 1, nên giá trị hiện tại lớn hơn khoản tương lai là dấu hiệu đã nhầm chiều.
Công thức F = P × (1 + i)^n có bốn đại lượng; biết ba thì tìm được cái thứ tư. Khoản đầu tư 100 triệu đồng thu về 150 triệu đồng sau 5 năm có suất sinh lời i = 1,5^(1/5) − 1 ≈ 8,45% mỗi năm, đúng điểm hòa ở Hình 3. Muốn 100 triệu đồng thành 200 triệu đồng ở lãi 8% cần n = ln 2/ln 1,08 ≈ 9,01 năm. Tránh lối chia đều tổng mức tăng: tăng 50% trong 5 năm không phải 10% mỗi năm mà chỉ khoảng 8,45%, vì lãi kép đã "làm hộ" một phần.
5.2. Quỹ dự phòng thay thiết bị với F/A và A/F
Dòng tiền đều (uniform series), ký hiệu A, là chuỗi các khoản bằng nhau ở cuối mỗi kỳ trong n kỳ liên tiếp. Vị trí chuẩn của ba đại lượng là nguồn sai sót lớn nhất khi dùng hệ số chuỗi, nên cần nhìn kỹ Hình 4.
Hình 4. Vị trí chuẩn của P, A và F khi dùng các hệ số chuỗi đều.
Hình 4 cho thấy khoản A đầu tiên nằm ở cuối kỳ 1, giá trị hiện tại P của chuỗi nằm ở kỳ 0, đúng một kỳ trước khoản A đầu tiên, còn giá trị tương lai F trùng với khoản A cuối cùng ở kỳ n. Đặt sai một mốc sẽ làm lệch kết quả đúng một thừa số (1 + i). Gửi A cuối mỗi kỳ thì sau n kỳ tích lũy được F = A × [(1 + i)^n − 1]/i, với đại lượng trong ngoặc là hệ số (F/A, i, n). Phép ngược lại dùng hệ số quỹ chìm (sinking fund factor) (A/F, i, n) = i/[(1 + i)^n − 1].
Hệ số (A/F) trả lời câu hỏi quen thuộc của chủ doanh nghiệp nhỏ: để dành bao nhiêu mỗi năm để có tiền thay thiết bị? Một xưởng in cần 500 triệu đồng sau 10 năm để thay máy in offset, gửi quỹ dự phòng ở lãi 8% mỗi năm. Với (A/F, 8%, 10) = 0,0690, xưởng cần trích 34,51 triệu đồng mỗi năm; tổng tiền bỏ ra là 345,15 triệu đồng, phần còn lại 154,85 triệu đồng do lãi kép đóng góp. Nếu xưởng chỉ trích 30 triệu đồng mỗi năm, quỹ sẽ có 30 × (F/A, 8%, 10) = 30 × 14,4866 = 434,60 triệu đồng, thiếu khoảng 65 triệu đồng so với mục tiêu.
5.3. Mua máy trả dần với P/A và A/P
Hệ số giá trị hiện tại của chuỗi đều (P/A, i, n) = [(1 + i)^n − 1]/[i × (1 + i)^n] cho biết một chuỗi n khoản đều đáng giá bao nhiêu hôm nay. Nghịch đảo của nó là hệ số hoàn vốn (capital recovery factor) (A/P, i, n), cho biết một khoản vốn hôm nay tương đương chuỗi đều bao nhiêu mỗi kỳ. Đây là phép tính đằng sau mọi lịch trả góp đều. Một xưởng mộc vay 200 triệu đồng mua máy CNC, trả đều cuối mỗi năm trong 5 năm, lãi 12% mỗi năm; với (A/P, 12%, 5) = 0,2774, khoản trả mỗi năm là 55,48 triệu đồng. Bảng 3 tách khoản trả ấy thành phần lãi và phần gốc.
Bảng 3. Lịch trả nợ khoản vay 200 triệu đồng, lãi 12% mỗi năm, trả đều trong 5 năm (triệu đồng)
| Năm | Khoản trả đều | Trả lãi | Trả gốc | Dư nợ cuối năm |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 200,00 | |||
| 1 | 55,48 | 24,00 | 31,48 | 168,52 |
| 2 | 55,48 | 20,22 | 35,26 | 133,26 |
| 3 | 55,48 | 15,99 | 39,49 | 93,77 |
| 4 | 55,48 | 11,25 | 44,23 | 49,54 |
| 5 | 55,48 | 5,94 | 49,54 | 0,00 |
Bảng 3 cho thấy khoản trả không đổi nhưng thành phần dịch chuyển: năm đầu, lãi tính trên toàn bộ 200 triệu đồng nên chiếm 24 triệu đồng; về sau phần lãi co lại, phần gốc phình ra. Vì thế, trả hết nợ ở cuối năm 2 chỉ cần 133,26 triệu đồng dư nợ, không phải 3 × 55,48 = 166,44 triệu đồng. Phần gốc năm 1 là 31,48 triệu đồng, đúng bằng 200 × (A/F, 12%, 5), phản ánh đẳng thức (A/P, i, n) = (A/F, i, n) + i: mỗi khoản hoàn vốn gồm một phần hoàn gốc như quỹ chìm và một phần trả lãi trên vốn.
5.4. Bảng tổng hợp sáu hệ số
Sáu hệ số tạo thành một mạng quy đổi giữa P, F và A. Mỗi cặp ngược chiều là nghịch đảo của nhau, ví dụ (P/A) × (A/P) = 1; các hệ số còn nối với nhau qua đại lượng trung gian, chẳng hạn (P/A) = (F/A) × (P/F), với i = 10%, n = 8 là 11,4359 × 0,4665 = 5,3349. Bảng 4 tóm tắt sáu hệ số cùng câu hỏi mỗi hệ số trả lời.
Bảng 4. Sáu hệ số quy đổi cơ bản và câu hỏi mỗi hệ số trả lời
| Hệ số | Công thức | Biết → Tìm | Câu hỏi | Giá trị ở i = 10%, n = 8 |
|---|---|---|---|---|
| (F/P, i, n) | (1 + i)^n | P → F | Một khoản hôm nay thành bao nhiêu sau n kỳ? | 2,1436 |
| (P/F, i, n) | 1/(1 + i)^n | F → P | Một khoản tương lai đáng giá bao nhiêu hôm nay? | 0,4665 |
| (F/A, i, n) | [(1 + i)^n − 1]/i | A → F | Gửi đều mỗi kỳ thì tích lũy được bao nhiêu? | 11,4359 |
| (A/F, i, n) | i/[(1 + i)^n − 1] | F → A | Phải để dành đều bao nhiêu để có một khoản F? | 0,0874 |
| (P/A, i, n) | [(1 + i)^n − 1]/[i(1 + i)^n] | A → P | Một chuỗi đều đáng giá bao nhiêu hôm nay? | 5,3349 |
| (A/P, i, n) | i(1 + i)^n/[(1 + i)^n − 1] | P → A | Một khoản vốn tương đương bao nhiêu mỗi kỳ? | 0,1874 |
Cách dùng Bảng 4 rất gọn: xác định đại lượng đã biết và cần tìm, rồi chọn hệ số có dạng "cần tìm/đã biết"; khi giá trị không có sẵn trong bảng tra, nên tính bằng công thức thay vì nội suy (Blank & Tarquin, 2024).
5.5. Dòng tiền tăng dần đều
Không phải dòng tiền nào cũng đều; chi phí bảo trì thường tăng khi máy già đi. Gradient số học (arithmetic gradient) là dòng tiền tăng thêm một lượng cố định G mỗi kỳ, với phần tăng đầu tiên ở cuối kỳ 2 chứ không phải kỳ 1. Chẳng hạn, chi phí bảo trì một máy nén năm đầu 20 triệu đồng rồi mỗi năm tăng 3 triệu đồng, trong 8 năm, lãi 10%: phần nền cho 20 × (P/A, 10%, 8) = 106,70 triệu đồng, phần gradient cho 3 × (P/G, 10%, 8) = 3 × 16,0287 = 48,09 triệu đồng, tổng là 154,78 triệu đồng, tương đương chi phí đều 29,01 triệu đồng mỗi năm. Khi các khoản tăng theo tỷ lệ phần trăm, như tiền điện tăng cùng giá điện, cần dùng gradient hình học.
6. Ví dụ hai máy nén khí, so tiết kiệm với phần chênh
Các hệ số trên đủ để trả lời một câu hỏi nhiều xưởng sản xuất gặp phải: có nên trả thêm tiền cho thiết bị tiết kiệm điện? Mục này dựng bài toán, giải bằng hệ số hoàn vốn, rồi chỉ ra một lỗi lập luận tinh vi.
6.1. Quy giá mua về chi phí đều mỗi năm
Một xưởng chọn giữa hai máy nén khí cùng công suất, dùng 8 năm. Máy A giá 180 triệu đồng, thanh lý cuối đời 20 triệu đồng. Máy B giá 320 triệu đồng, thanh lý 40 triệu đồng, nhưng giảm chi phí điện 35 triệu đồng mỗi năm so với máy A. Suất chiết khấu là 10% mỗi năm. Không thể đặt thẳng 140 triệu đồng chi thêm hôm nay cạnh 35 triệu đồng tiết kiệm mỗi năm, nên ta quy giá mua của mỗi máy thành chi phí hoàn vốn đều (capital recovery cost): A = (P − S) × (A/P, i, n) + S × i, với S là giá trị thu hồi (Park, 2019). Bảng 5 trình bày phép tính.
Bảng 5. Chi phí hoàn vốn đều của hai máy nén khí, i = 10%, n = 8 năm, (A/P, 10%, 8) = 0,1874 (số liệu minh họa)
| Khoản mục | Máy A | Máy B | Chênh lệch B − A |
|---|---|---|---|
| Giá mua P (triệu đồng) | 180 | 320 | 140 |
| Giá trị thu hồi S (triệu đồng) | 20 | 40 | 20 |
| (P − S) × (A/P, 10%, 8) | 29,99 | 52,48 | 22,49 |
| S × i | 2,00 | 4,00 | 2,00 |
| Chi phí hoàn vốn đều (triệu đồng/năm) | 31,99 | 56,48 | 24,49 |
| Tiết kiệm điện của B so với A (triệu đồng/năm) | 35,00 |
Bảng 5 cho thấy riêng việc sở hữu máy B đã tốn hơn máy A khoảng 24,5 triệu đồng mỗi năm. Đó là ngưỡng: khoản tiết kiệm phải vượt 24,5 triệu đồng mỗi năm thì máy B mới đáng mua. Với 35 triệu đồng, máy B thắng với biên an toàn khoảng 10,5 triệu đồng mỗi năm. Quy về hiện tại cũng cho cùng kết luận: dòng tiết kiệm đáng giá 35 × (P/A, 10%, 8) = 186,72 triệu đồng, lớn hơn phần vốn chênh lệch ròng 140 − 20 × (P/F, 10%, 8) = 130,67 triệu đồng.
6.2. Cạm bẫy khi so với toàn bộ chi phí máy B
Một lập luận sai hay gặp là lấy toàn bộ chi phí hoàn vốn của máy B, 56,5 triệu đồng mỗi năm, so với khoản tiết kiệm 35 triệu đồng rồi kết luận máy B không đáng mua. Hình 5 đặt các con số cạnh nhau để thấy chỗ sai.
Hình 5. Khoản tiết kiệm phải được so với phần chênh chi phí hoàn vốn B − A, không phải với toàn bộ chi phí của máy B (số liệu minh họa).
Như Hình 5 cho thấy, 35 triệu đồng là một đại lượng chênh lệch giữa hai máy, nên phải so với đại lượng chênh lệch cùng loại là phần chi phí hoàn vốn máy B tốn hơn máy A. Máy A không miễn phí; nó cũng có chi phí sở hữu khoảng 32 triệu đồng mỗi năm. So 35 với 56,5 là ngầm giả định máy A có giá bằng 0. Nguyên tắc so theo phần chênh lệch này sẽ còn trở lại ở hầu hết bài toán chọn phương án, từ suất thu lợi nội tại đến phân tích lợi ích và chi phí.
7. Tính trên bảng tính với FV, PV, PMT, NPER và RATE
Khi làm việc thật, hầu như không ai tra bảng hệ số; các phép quy đổi được thực hiện bằng vài hàm tài chính dựng sẵn của Excel và Google Sheets. Mục này giới thiệu năm hàm cốt lõi, rồi nêu ba điểm cần nhớ để không bị lệch kết quả.
7.1. Năm hàm cốt lõi
Năm hàm FV, PV, PMT, NPER và RATE lần lượt tìm F, P, A, n và i (Microsoft, n.d.). Chúng dùng chung bộ đối số: rate là lãi suất mỗi kỳ, nper là số kỳ, pmt là khoản đều, pv là giá trị hiện tại, fv là giá trị tương lai và type cho biết khoản đều trả cuối kỳ (0, mặc định) hay đầu kỳ (1). Google Sheets dùng cùng tên hàm và thứ tự đối số. Bảng 6 áp dụng các hàm vào chính các ví dụ trong bài, với số tiền tính bằng triệu đồng.
Bảng 6. Các hàm bảng tính cho bài toán giá trị thời gian của tiền (triệu đồng)
| Câu hỏi | Công thức | Kết quả | Ví dụ trong bài |
|---|---|---|---|
| Gửi 100 thì sau 5 năm được bao nhiêu? | =FV(8%;5;0;-100) | 146,93 | Gửi tiết kiệm (Hình 2) |
| 150 sau 5 năm đáng giá bao nhiêu hôm nay? | =PV(8%;5;0;-150) | 102,09 | Nhận ngay hay chờ (Hình 3) |
| Trích bao nhiêu mỗi năm để có 500 sau 10 năm? | =PMT(8%;10;0;-500) | 34,51 | Quỹ thay máy in |
| Trả đều bao nhiêu cho khoản vay 200 trong 5 năm? | =PMT(12%;5;-200) | 55,48 | Vay mua máy CNC (Bảng 3) |
| Chi phí hoàn vốn đều máy B | =PMT(10%;8;-320;40) | 56,48 | Máy nén khí (Bảng 5) |
| Bao lâu để 100 thành 200 ở lãi 8%? | =NPER(8%;0;-100;200) | 9,01 | Quy tắc 72 |
| 100 thành 150 sau 5 năm là lãi bao nhiêu? | =RATE(5;0;-100;150) | 8,45% | Điểm hòa (Hình 3) |
| Thuê máy 24 mỗi năm, trả đầu năm, 5 năm | =PV(10%;5;-24;0;1) | 100,08 | Lỗi đầu kỳ (mục 8) |
Bảng 6 cho thấy mỗi hàm chỉ là một hệ số trong Bảng 4 đã nhân sẵn với số tiền. Nên đặt i, n, P, F, A vào các ô nhập liệu riêng để kết quả tự cập nhật khi đổi giả định.
7.2. Ba điểm cần nhớ khi dùng hàm
Thứ nhất, các hàm theo quy ước dấu giống sơ đồ dòng tiền: tiền bỏ ra mang dấu âm, tiền nhận về mang dấu dương. Vì thế khoản gửi 100 được nhập là −100 để FV trả về số dương; trong ví dụ máy nén khí, giá mua nhập −320 còn giá trị thu hồi nhập +40. Với RATE và NPER, nếu pv và fv cùng dấu, hàm báo lỗi vì không có lãi suất nào làm hai khoản cùng chiều tương đương nhau. Thứ hai, rate và nper phải cùng loại kỳ: khoản vay trả hằng tháng dùng lãi tháng và số tháng, ví dụ =PMT(12%/12;60;-200) cho 4,45 triệu đồng mỗi tháng. Thứ ba, dấu phân cách đối số tùy thiết lập vùng của máy; với thiết lập Việt Nam, nơi dấu phẩy là dấu thập phân, dấu phân cách thường là dấu chấm phẩy như trong Bảng 6.
8. Các lỗi thường gặp
Phần lớn sai sót trong bài toán giá trị thời gian không nằm ở công thức mà ở cách đặt bài toán. Mục này tổng hợp năm lỗi hay gặp nhất cùng cách nhận ra từng lỗi.
Lỗi thứ nhất là lệch kỳ giữa i và n: dùng lãi suất năm với số tháng hoặc ngược lại. Lãi "1% mỗi tháng" ghép trong 12 tháng tương đương 12,68% mỗi năm chứ không phải 1% mỗi năm. Hãy luôn viết kèm đơn vị kỳ cạnh lãi suất, kiểu "1%/tháng", rồi kiểm tra n có cùng đơn vị không.
Lỗi thứ hai là nhầm dòng tiền đầu kỳ với cuối kỳ. Các hệ số chuẩn giả định khoản đều ở cuối kỳ, nhưng tiền thuê nhà xưởng, phí bảo hiểm thường trả đầu kỳ. Thuê máy phát điện 24 triệu đồng mỗi năm, trả đầu năm, trong 5 năm, lãi 10%, có giá trị hiện tại 24 × (P/A, 10%, 5) × 1,1 = 100,08 triệu đồng. Dùng thẳng (P/A) chỉ cho 90,98 triệu đồng, đánh giá thấp chi phí thuê khoảng 9%, đủ để lật kết luận khi so thuê với mua.
Lỗi thứ ba là đặt sai mốc cho chuỗi bắt đầu muộn. Hệ số (P/A) đặt kết quả một kỳ trước khoản A đầu tiên, như Hình 4. Một dây chuyền mang lại 40 triệu đồng mỗi năm từ năm 3 đến năm 10, lãi 10%: 40 × (P/A, 10%, 8) = 213,40 triệu đồng là giá trị ở mốc 2, chiết khấu thêm 2 kỳ được 176,36 triệu đồng. Chiết khấu 3 kỳ sẽ ra 160,33 triệu đồng, sai gần 10%.
Lỗi thứ tư, căn bản nhất, là cộng những khoản tiền ở các thời điểm khác nhau. Cộng 8 năm tiết kiệm của máy B thành 280 triệu đồng rồi so với 140 triệu đồng chênh lệch giá mua làm máy B có vẻ hời gấp đôi, trong khi giá trị hiện tại thật của dòng tiết kiệm chỉ là 186,72 triệu đồng. Quy tắc là chỉ cộng trừ những khoản đã được quy về cùng một mốc.
Lỗi thứ năm là nhầm chiều quy đổi và trộn quy ước dấu, chẳng hạn dùng (F/P) thay cho (P/F), hoặc trong bài toán chỉ có chi phí lại cộng giá trị thu hồi vào tổng chi phí thay vì trừ đi. Cách phòng tránh chung cho cả năm lỗi là vẽ sơ đồ dòng tiền trước khi tính, ghi rõ góc nhìn và đánh dấu mốc mà mỗi hệ số đặt kết quả.
Kết luận
Một đồng hôm nay có giá trị hơn một đồng năm sau vì nó có thể được đầu tư để sinh lời, vì lạm phát làm giảm sức mua và vì khoản tương lai luôn kèm rủi ro. Lãi suất là giá của việc sử dụng tiền theo thời gian và luôn phải gắn với một kỳ. Kinh tế kỹ thuật dùng lãi kép, F = P × (1 + i)^n, vì nó phản ánh đúng cách vốn sinh lời khi tái đầu tư. Sơ đồ dòng tiền, với quy ước cuối kỳ, mũi tên lên cho dòng thu, mũi tên xuống cho dòng chi và một góc nhìn duy nhất, là bước nên làm trước mọi phép tính.
Khái niệm bao trùm là tương đương: hai dòng tiền tương đương khi có cùng giá trị tại một mốc chung ở một lãi suất cho trước và quan hệ ấy thay đổi khi lãi suất thay đổi. Sáu hệ số F/P, P/F, F/A, A/F, P/A, A/P cùng các hàm FV, PV, PMT, NPER, RATE là công cụ thực hiện phép quy đổi đó, từ quỹ dự phòng thay thiết bị đến lịch trả góp. Ví dụ hai máy nén khí cho thấy giá trị của cách tư duy này: khoản tiết kiệm phải được so với phần chênh B − A, không phải với toàn bộ chi phí máy B. Các bài tiếp theo trong chuỗi sẽ dùng những công cụ này để xử lý lãi suất ghép nhiều lần trong năm và so sánh phương án bằng giá trị hiện tại và giá trị đều hằng năm.
Đọc thêm
- Chi phí cơ hội và cái giá của mỗi lựa chọn
- Lãi suất danh nghĩa, hiệu dụng và bẫy lãi phẳng
- Giá trị hiện tại NPV và giá trị đều hằng năm AW
- Chi phí chìm và bẫy tâm lý khi quyết định
- Phân tích khả thi tài chính cho startup bằng NPV và IRR
Tài liệu tham khảo
Blank, L. T., & Tarquin, A. (2024). Engineering economy (9th ed.). McGraw Hill. https://www.mheducation.com/highered/product/engineering-economy-blank-tarquin/M9781264158096.html
Frederick, S., Loewenstein, G., & O'Donoghue, T. (2002). Time discounting and time preference: A critical review. Journal of Economic Literature, 40(2), 351–401. https://doi.org/10.1257/002205102320161311
Microsoft. (n.d.). Financial functions (reference). Microsoft Support. https://support.microsoft.com/en-us/office/financial-functions-reference-5658d81e-6035-4f24-89c1-fbf124c2b1d8
Newnan, D. G., Eschenbach, T. G., Lavelle, J. P., & Lewis, N. A. (2020). Engineering economic analysis (14th ed.). Oxford University Press. https://global.oup.com/ushe/product/engineering-economic-analysis-9780190931919
Park, C. S. (2019). Fundamentals of engineering economics (4th ed., Global ed.). Pearson. https://www.pearson.com/en-gb/subject-catalog/p/fundamentals-of-engineering-economics-global-edition/P200000005189
Sullivan, W. G., Wicks, E. M., & Koelling, C. P. (2019). Engineering economy (17th ed., Global ed.). Pearson. https://www.pearson.com/en-gb/subject-catalog/p/engineering-economy-global-edition/P200000005519/9781292264905